El Teorema de Shannon

EL TEOREMA DE SHANNON

En los años sesenta el Malabarismo empezó a estudiarse en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT). Claude E. Shannon experimenta con máquinas malabaristas y formuló su teorema del Malabarismo:

Intentando definir un modelo matemático del malabarismo, el matemático norteamericano Claude Shannon propuso algunas hipótesis.

1. Fija como variables el número de manos y de objetos.
2. Supone que al describir la figura, todas las bolas siguen la misma trayectoria y pasan todas igual tiempo en la mano. Con ello establece 5 parámetros:
b: Número de Bolas.
m: Número de Manos.
v: Tiempo de vuelo de cada bola.
t: Tiempo que cada mano permanece vacía.
r: Tiempo que cada bola permanece en una mano.
3. Considera que no hay nunca dos bolas simultáneamente en la misma mano (no obstante si hay ejercicios de este tipo llamados genéricamente Multiplex) y que el ejercicio es periódico (es decir que cada configuración se repite a intervalos de tiempo determinados). Además admite que el ejercicio es simétrico y uniforme.

Ahora para obtener una fórmula realizemos una igualación:
El tiempo que tarda un ciclo desde el punto de vista de las manos ha de ser igual al que tardan las pelotas:

MANOS

• r es el tiempo que una pelota permanece en la mano.
• t es el tiempo que una mano permanece vacía.
o t no siempre es igual a v. Se ha de tener en cuenta que el tiempo que la mano permanece vacía no ha de ser necesariamente igual al tiempo que una pelota permanece en el aire, por ejemplo con 5 pelotas, cada mano debe arrojar al menos 2 pelotas antes que llegue la primera que se arrojó. Por lo tanto, el tiempo que la mano permace vacía es muy inferior al tiempo que pasa una pelota en el aire.

Concluyendo, el tiempo total para una mano que sostiene una pelota y luego la arroja debe ser igual al tiempo que cada pelota permanece en la mano más el tiempo que cada mano permance vacía (r + t).

Como esto se repite para las b bolas, hasta que el ciclo esté completo, la cantidad total será:

b ( r + t )

PELOTAS

• El tiempo que tarda una pelota en hacer el recorrido completo es igual al tiempo que la pelota permanece en la mano más el tiempo de vuelo (r + v).
• Pero la pelota debe pasar por las m manos antes de completar el ciclo, por lo tanto, el tiempo que se tarda en hacer un ciclo completo es:

m ( r + v )

Ahora procedemos a igualar ambas fórmulas y obtenemos finalmente la fórmula de Sahnnon:

b ( r + t ) = m ( r + v )

O bien si ponemos la b y la m en un mismo lado de la igualdad obtenemos:

formula1

Esta fórmula se aplica bastante bien al ocho.

Para el caso del chaparrón, podríamos escribir una relación semejante, aunque ligeramente más complicada, puesto que no todas las hipótesis simplificadoras son válidas. Para dar una interpretación física de esta fórmula, consideremos un período de movimiento (de una bola o de una mano).

Si durante este periodo pasan q bolas por la mano y una bola pasa por p manos, el número de contactos mano/bola puede calcularse de dos maneras diferentes: bxp ó mxq. La duración del período, según nos interese el movimiento de la bola o de la mano, será p(r+v) o q(r+t). Dado que bxp=mxq y p(r+v)=q(r+t), un poco de álgebra nos permite llegar al resultado siguiente:

formula2

Con esta forma, la expresión de Shannon ilustra muy bien el papel de las restricciones. En efecto el tiempo de vuelo viene dado por la altura a la que se ha enviado la pelota. Si esta sigue una trayectoria parabólica y ha sido lanzada a una altura H, necesitará un tiempo igual a formula3 para volver a la posición inicial (siendo g la aceleración de la gravedad).

Los profesionales saben intuitivamente que si se fija el tiempo de vuelo (fijando la altura), sigue siendo posible trabajar a distintas cadencias. Esta intuición queda justificada en la medida en que la relación entre las frecuencias máxima y mínimas para una altura dada es la misma que entre los periodos máximo y mínimo alcanzables.

• El periodo máximo posible se obtiene cuando t, tiempo durante el que la mano permanece vacía, es nulo.
• El periodo es mínimo cuando r, el tiempo en que la bola permanece en la mano, es nulo.

La relación entre ambos es igual a:

formula3

Puede observarse que si b = m, el denominador se anula, y la relación tiende a infinito, lo cual significa que podría realizarse un ejercicio con una lentitud infinita si cada mano sostiene una bola durante un tiempo ilimitado.

Resumiendo:

Dada una altura, una medida crucial del ritmo de malabarismo es la llamada razón o coeficiente de permanencia, que se define como la fracción del tiempo que una mano mantiene asida una bola entre dos recogidas (o dos lanzamientos).

• Si tal razón tiene valor elevado, la probabilidad de colisiones en el aire será pequeña. Ello se debe a que la mano alberga la bola durante un tiempo bastante largo y tiene, por tanto, ocasión de lanzar con precisión.
• Si la razón de permanencia es pequeña, el número medio de bolas en el aire, ponderado respecto al tiempo, crece lo cual resulta favorable para efectuar correciones, porque las manos disponen de más tiempo para volver a sus lugares.

RAZON DE PERMANENCIA

La idea es relacionar el tiempo que una pelota permanece en la mano con el tiempo que la mano está vacía:

(r / t )

Medias experimentales realizadas por Beek han obtenido que los valores habituales para esta razón en los malabarismos de cascada oscilan entre 0.5 y 0.8, es decir, la mano sostiene una pelota entre 3/4, 2/3 y 5/8 del tiempo.

Se ha encontrado que los mabaristas novatos tienden a razones de permanencia grandes, es decir, mantienen los objetos en sus manos por un tiempo mayor que los más expertos.

Los malabaristas nóveles optarán por razones de permanencia mas bien grandes, haciendo hincapié en la precisión de los lanzamientos. Los malabaristas más expertos tienden hacia valores más bajos, en especial al manejar tres bolas, porque así disponen de mayor flexibilidad para variar la figura.
Es decir, en una cascada con tres bolas, las bolas pueden pasar hasta el doble del tiempo en el aire que en contacto con las manos.

Semejante gama de valores parece indicar que los malabaristas buscan un término medio entre la estabilidad y la flexibilidad, que ajustan según los errores y las perturbaciones exteriores. Además, la tendencia hacia razones de permanencia dadas por fracciones sencillas ilustra de modo sutil la propensión humana a buscar soluciones rítimicas para las tareas físicas.

Malabart

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Creador de Malabart y co-fundador del Festival Internacional de Circo-Teatro de Haría, Lanzarote.
Diseñador gráfico y web especializado en sistemas de Gestión de contenidos.
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